안녕하세요, 구체적인 사실관계를 알 수 없으나,
사용자가 사직서 수리를 거부하실 경우 사직의 효과는 1달 후 발생합니다.
다만, 월급제 근로자의 경우 "당기 후 1임금 지급기 경과 후 첫날이 사직발생일"이므로 민법상으로는 6월 1일이 사직발생일입니다.
단, 회사가 사직서를 거부하면서 5월 10일까지를 기준으로 사직일 조정을 요청하신 경우 회사의 추가 협의가 필요해보입니다.
일방적으로 퇴사를 할 경우 그에 따라 회사에 손해가 발생한다면 회사는 손해배상청구를 할 수 있습니다.